2019年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B 2. A 3. A 4. C 5. A 6. C
7. B 8. A 9. D 10. D 11. D 12. A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
1.
2. 
3. 
4. ①②③
一. 选择题:
1.答案：B
解析：将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为
，故选B.
2.答案：A
解析：
，故选A.
3.答案：A
解析：
，故选A．
4.答案：C
解析：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题可知，正确答案选择C.
5.答案：A
解析：令等比数列
的公比为
，由已知得
，故选A.
6.答案：C
解析：法1：由定义可知为偶函数，所以排除选项A，B，
，比较可得C.
法2：由定义可知为偶函数，所以排除选项A，B，当
时，
，则
，所以
在
上有极大值，故选C.
7. 答案：B
解析：法一：
；
法二：满足题意的字母组合有四种，分别是
，
，
，
，拼写正确的组合只有一种，所以概率为
.
8.答案：A
解析：由已知，双曲线的渐进线方程为
，又点
到渐近线的距离为
，所以
，即
，又
，所以
，故选A.
9.答案：D
解析：令
，解得
，所以函数
的递减区间为
，选项A错误；由于
，所以函数的图象是由
的图象向右平移
得到的，选项B错误；令
，解得
.所以函数的图象的对称轴方程为，选项C错误；由于
，所以
，当
时，
，当
时，
.故选D.
10.答案：D
解析：以
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，则
. 设
，依题意有，
，化简整理得，
，即
，圆的面积为
.故选D.
11.答案：D
解析：因为球
的表面积是
，所以
，解得
．
如图，四棱锥
底面为矩形且矩形的四个顶点
在球
的同一个大圆上，
设矩形的长宽为
,则
，当且仅当
时上式取等号，
即底面为正方形时，底面面积最大，此时
．点
在球面上，
当
底面
时，
，即
，则四棱锥
体积的最大值为
.
12.答案：A
解析：
，所以
在
上恒成立，
等价于
在
上恒成立，因为
时，1<
，所以只需
在
上递减，即
，
恒成立，即时，
恒成立，
，所以
.
二. 填空题：
13. 答案：
解析： 由于向量a与b垂直，所以它们的数量积为0，即
，解得
.
14. 答案：1010
解析：设等差数列公差为
，
，
，
，
，
，
.
15. 答案：
解析：由题意知，焦点坐标为
，准线方程为
，
到焦点距离等于到准线距离，所以
，
，
.
1
6. 答案：①②③
解析：
①∵
，
平面
，
平面∴
//平面，①正确；②∵
平面
，∴
，又∵
，∴
平面
，∴
，同理
，∴
平面，②正确；③
，
为等边三角形，则异面直线
与
成
角，③正确；④
为与平面所成的角，
，④错误.故填①②③
三. 解答题：
17. 解析：（1）根据题意，由
可知，
—————2分
根据余弦定理可知，
， ———————————4分
又角为
的内角，所以
； ———————————6分
（2）法一：
为等边三角形. ———————————7分
由三角形内角和公式得，
， 故
————————8分
根据已知条件，可得
，
整理得
———————————9分
所以
， ———————————10分
又
， 所以
， ———————————11分
又由（1）知，所以为等边三角形. ———————————12分
法二：
为等边三角形. ———————————7分
由正弦定理和余弦定理，得
， ———————————8分
整理得
，即
———————————10分
又由（1）知，所以为等边三角形. ———————————12分
18.解析：（1）“送达时间”的平均数：
（分钟），（不写单位不扣分） ——2分
方差为:
——————————4分
（2） 
，
，
，
. ——————————6分
（3）由已知人数
的可能取值为：0，1，2，3
；
；
；
.
（错一个扣1分）——————————8分
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
0.064 |
0.288 |
0.432 |
0.216 |
——————————10分
服从二项分布
.
——————————12分
19.解析：
面
面
，
面，且
面.
由此可得，以点
为坐标原点，以
，
和
分别作为轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系
．
设
,则
，
，
，
，
，
． ———————————2分
（1）证明：
，
，
，
所以
，
， 又
所以
平面
．即
为平面的法向量.
———————————4分
又
，
，又
平面
所以
平面
．
—————————6分
（2）设
与平面
垂直，则，
，
由
，得
解得
. ———————————8分
又因为
平面，
，
所以
， ———————————10分
得到
．
所以当
时，二面角
的大小为
． ————————12分
20. 解析：（1）将
代入
中，由
可得
，
所以弦长为
， ———————————2分
故有
，解得
，
所以椭圆
的方程为：
． ——————————4分
（2）法一：设点
，又
，则直线
的方程分别为
；
．
由题意可知
． ———————————6分
由于点
为椭圆
上除长轴外的任一点，所以
，
所以
， —————————8分
因为
，
，
所以
，即
—————————10分
因此，
． ————————12分
法二：设
，
在
中，由正弦定理得
在
中，由正弦定理得
—————————6分
因为
，
，
所以
，解得
， —————————8分
因为
，即
， —————————10分
所以 ． ————————12分
21. 解析：
（1）当
时，
，其导数
， ———1分
所以
，即切线斜率为
， ——————————2分
又切点为
，所以切线的方程为
． ————————4分
（2）函数的定义域为，
， ———5分
因为
为函数的两个极值点，所以是方程
的两个不等实根，由根与系数的关系知
，
————————6分
又已知
，所以
，
，将式代入得
， ——————————8分
令
，
， ——————————9分
，令
，解得
， —————————10分
当
时，
，
在
递减；
当
时，
，在
递增；
所以
，
，
， —————————11分
即
的取值范围是
． —————————12分
22．解析：（1）由
可得：
化为
． ————————4分
（2）由已知得曲线
的普通方程：
，
点
为曲线
上动点，令点
，
—————————6分
设点到曲线的距离为，
所以
，
其中
， —————————8分
即两点
，之间的最短距离为
． —————————10分
23．解析：（1）因为
，所以
——————————1分
根据均值不等式有
， —————————3分
当且仅当
，即
时取等， —————————4分
所以
的值为
. ————————5分
（2）当
时，原不等式等价于
，解得
；————6分
当
时，原不等式等价于
，解得
； ———7分
当
时，原不等式等价于
，解得； ————————8分
综上所述原不等式解集为
． ————————————10分