2017-2018学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三数学备课组
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
， 
，则
（ ）
A. 
B.
C.
D.
2.若复数
在复平面内对应
的点关于
轴对称，且
，则复数
在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.实轴上 D.虚轴上
3. 角
的终边与单位圆交于点
,则
（ ）
A．
B．
C. 
D．
4. 在
中，若
，则
＝ （ ）
A .
B．
C．
D． 
5. 已知
为等差数列，
，则的前9项和
（ ）
A．9 B．17 C．72 D．81
6。若变量
，
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A.
B．7 C.9 D．
7．命题“
”是命题“直线
与直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8.
函数
的部分图象如图所示，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知
的方程为
，直线
与交于
两点，则当面积最大时，直线
的斜率
（ ）
A.1 B.6 C.1或7 D. 2或6
10.函数
的图象上存在某两点处的切线斜率为3，且切点的横坐标都大于零， 则实数
的取值范围为 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
11.已知分别为双曲线
的左、右顶点，
为双曲线右支上一点，若
,
，设双曲线的离心率为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
是奇函数且当
时是减函数，若
，则函数
的零点共有 （ ）
A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量
与
是共线向量且
，则
．
14.设等比数列
的前
项和为
.若
＝3，
＝15，则
.
15.抛物线
的焦点为
，点
，
为抛物线上一点，且不在直线
上，则
周长的最小值为
16.已知
是定义在
上的偶函数，令
，若实数
满足是
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知数列
的前项和为
,且
对一切正整数恒成立.
（Ⅰ）求当
为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记数列
的前项和为
，求
.
18.
（本小题满分12分）
已知三个内角 
的对边分别为
，的面积
满足
．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）求
的取值范围．
19. （本小题满分10分）
如图，四面体
中，
是
的中点，
和
均为等边三角形，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求点到平面
的距离．
20. （本小题满分10分）
随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付在的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
| 年龄（岁） |
|
|
|
|
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|
| 频数 |
5 |
10 |
15 |
10 |
5 |
5 |
| 手机支付 |
4 |
6 |
10 |
6 |
2 |
0 |
(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，恰有一人使用手机支付为事件
，求
；
(Ⅱ)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有
以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
|
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手机 |
未使用手机支付 |
总计 |
| 中青年 |
|
|
|
| 中老年 |
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| 合计 |
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可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
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21. （本小题满分10分）
已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线
交椭圆于
两点，若点
始终在以
为直径的圆内，求实数
的取值范围.
22. （本小题满分10分）
已知函数
.
（Ⅰ）证明:
有两个零点；
（Ⅱ）已知
，若
,使得
，试比较
与
的大小.