2017-2018学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三数学备课组
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
， 
，则
（ ）
A. 
B.
C.
D.
2.若复数
在复平面内对应的点关于
轴对称，且
，则复数
在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.实轴上 D.虚轴上
3. 角
的终边与单位圆交于点
,则
（ ）
A．
B．
C. 
D．
4．在
中，若
，则
＝（ ）
A .
B．
C．
D．
5.已知
为等差数列，
，则的前9项和
（ ）
A．9 B．17 C．72 D．81
6.若变量
，
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A.2 
B．7 C.9 D．13
7．命题“
”是命题“直线
与直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8. 
函数
的部分图象如图所示，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知圆
的方程为
，直线
与圆交于
两点，则当面积最大时，直线
的斜率
（ ）
A.1 B.6 C.1或7 D. 2或6
10. 己知曲线
上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数
的取值范围为 （ ）
A. 
B.
C.
D.
11. 已知函数
是奇函数且当
时是减函数，若
，则函数
的零点共有 （ ） A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
12. 设
分别为双曲线
的左、右顶点，
是双曲线上不同于的一点，设直线
的斜率分别为
，
则
取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
14. 抛物线
的焦点为
，点
，
为抛物线上一点，且不在直线
上，则
周长的最小值为
15. 已知平面向量
满足：
，
，
，
，则
与
的夹角正弦值为
16.已知
是定义在
上的偶函数，令
，若实数
满足是
，则
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数
列
的前
项和为
,且
对一切正整数恒成立.
（Ⅰ）求当
为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记数列
的前项和为
，求
.
18. （本小题满分12分）
已知三个内角 
的对边分别为
，的面积
满足
．
（Ⅰ）求角的
值；
（Ⅱ）求
的取值范围．
19. （本小题满分12分）
如图，四面体
中，
是
的中点，
和
均为等边三角形，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
20. （本小题满分12分）
随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
| 年龄（岁） |
[15，25） |
[25，35） |
[35，45） |
[45，55） |
|
[65，75） |
| 频数 |
5 |
10 |
15 |
10 |
5 |
5 |
| 手机支付 |
4 |
6 |
10 |
6 |
2 |
0 |
(
Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为
，求的分布列及数学期望；
(Ⅱ)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有
以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
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手机支付 |
未使用手机支付 |
总计 |
| 中青年 |
|
|
|
| 中老年 |
|
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| 总计 |
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可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
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21. （本小题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知分别为椭圆的左右顶点，
,
，且
,直线
与
分别与椭圆交于
两点，
（i）用
表示点
的纵坐标；
（ii）若
面积是
面积的5倍，求
的值．
22. （本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
在
上的最小值；
（Ⅱ）若
，当
有两个极值点
时，总有
，求此时实数
的值．