2017-2018学年度上学期期末考试高三年级
数学科（理科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知
是虚数单位，则复数
的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C．
D．
2.设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若
，且
为第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
（ ）
A．
B．2 C. 
D．4
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）
A．1 B．
C.
D．
6.已知数列
的前
项和
，若
，则（ ）
A．
B．
C.
D．
7.若
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A．-2 B．0 C.2 D．4
8.把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）
A．12种 B．24种 C.36种 D．48种
9.已知函数
，现将
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则
在
的值域为（ ）
A．
B． C.
D．
10.已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，过的直线
与过的直线
交于点
，设点的坐标
，若
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C.
D．
11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D．丙、甲、乙
12.已知函数
在
处取得极大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.已知实数
满足
，则
．
14.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ．
15.已知双曲线的两个焦点为
、
，渐近线为
，则双曲线的标准方程为 ．
16.等比数列的前项和记为
，若
，则
．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
中，角
的对边分别为
，
.
（1）求
的值；
（2）若
，
边上的高为
，求
的值.
18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：
甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133
乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146
（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：
（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数
的分布列和数学期望．
（注：方差
，其中
为
的平均数）
19.如图，在底面是菱形的四棱锥
中，
平面
，
，
，点
分别为
的中点，设直线
与平面
交于点
.
（1）已知平面
平面
，求证：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.已知直线
与抛物线
交于
两点.
（1）若
，求
的值；
（2）以
为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为
，求矩形的面积.
21.已知函数
.
（1）
时，求
在
上的单调区间；
（2）
且
，
均恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数，
且
），以原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.已知直线与曲线交于两点，且
.
（1）求的大小；
（2）过分别作的垂线与轴交于
两点，求
.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当
时，解不等式
；
（2）若存在
，使
成立，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BCBBB 6-10:DCCAA 11、12：BD
二、填空题
13.
14.11 15.
16.
三、解答题
17.（1）∵，∴
，∴
，
∵
∴
（2）由已知，
，∵，∴
又∵
∴
∴
18.（1）茎叶图略，
，
，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩
（2）由已知，的可能取值为0,1,2，
，
，
，
的分布列为（略）
19.（1）∵
，
平面，
平面
∴
平面，
∵
平面
，平面平面
∴
（2）∵底面是菱形，
为的中点，
∴
，
，
∴
∵平面，则以点为原点，直线
分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则
、
、
、
∴
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，有
，
，得
设
，则
，
则
解之得
，∴
，
设直线与平面所成角为
则
∴直线与平面所成角的正弦值为
20.解：（1）
与
联立得
由
得
，设
，
.则
，
∵，∴
∴
，∴
∴
，满足题意
（2）设弦的中点为
，则
，
∵
∴
∴
，
则
，∴
，∴
∴
∴
∴面积为
21.（1）时，
，设
，
当
时，
，则
在上是单调递减函数，即
在
上是单调递减函数，
∵
∴
时，
；
时，
∴在上的单调增区间是，单调减区间是
；
（2）
时，
，即
；
时，
，即
；
设
，
则
时，
，∵
，∴在
上单调递增
∴时，
；时，
，∴符合题意；
时，
，
时，
，∴在
上单调递减，
∴当时，，与时，
矛盾；舍
时，设为
和0中的最大值，当
时，，
∴在
上单调递减，∴当时，，与时，
矛盾；舍
综上，
22.（1）由已知，直线的方程为
，∵
，，
∴到直线的距离为3，则
，解之得
∵
且∴
（2）
23.（1）由已知
时，解得
，则；
时，解得
；则
时，解得
，则
综上：解集为
（2）∵
∴
当且仅当
且
时等号成立.
∴
，解之得
或
，
∴的取值范围为