丹东市2017~2018学年度上学期期末教学质量监测
高三理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．复数
满足
，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数为奇函数的是
A．
B．
C．
D．
4．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左
视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与
内接三角形构成，则该此几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
5．执行右面的程序框图后，输出的
A．6
B．27
C．33
D．124
6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持
与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，
经计算
，则所得到的统计学结论是：有（ ）
的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．
A． 99.9% B．99%
C．1% D．0.1%
附:
|
|
0.100 |
0.050 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
|
|
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
7．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为
A．12 B．24 C．48 D．60
8．三棱锥
中，
，
分别是
，
的中点，若
，
，
则异面直线
与
所成角为
A．
B．
C．
D．
9．已知
是函数
的极值点，若
，
，则
A．
，
B．
，
C．，
D．，
10．若函数
在区间
和
上都是单调递增函数，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
11．双曲线
：
与抛物线
有公共焦点
，
是它们的公
共点，设
，若
，则的离心率
A．
B．
C．
D．
12．已知扇形
的圆心角是，半径是1，是弧
上不与
，
重合的一点，
设
，若
存在最大值，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
，则
的最小值为______．
14．经过三点
，
，
的圆的半径是______．
15．甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话：甲说：乙去
我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．
最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的
人一定是______．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，若△ABC的面积为
，则ab的最小值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
设
为数列
的前
项和，已知
．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列
的前项和
．
18．（12分）
甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到频数表如下：
甲公司送餐员送餐单数频数表
| 送餐单数 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
| 天数 |
20 |
40 |
20 |
10 |
10 |
乙公司送餐员送餐单数频数表
| 送餐单数 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
| 天数 |
10 |
20 |
20 |
40 |
10 |
将上表中的频率视为概率，回答下列问题：
（1）现从甲公司随机抽取3名送餐员，求恰有2名送餐员送餐单数超过40的概率；
（2）（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的数学期望；
（ii）某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，他应该选择去哪家公司应聘，说明理由．
19．（12分）
长方形
中，
，是
中点（图1）．将△
沿
折起，使得
（图2）．在图2中：
（1）求证：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存点
，使得二面角
为大小为
，说明理由．
20．（12分）
已知动点E到点A
与点B
的直线斜率之积为
，点E的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）过点D
作直线l与曲线C交于，
两点，求
的最大值．
21．（12分）
设函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系
中，点
在倾斜角为
的直线
上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为
．
（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；
（2）设与相交于，两点，求
的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数
的最小值为
．
（1）求的值；
（2）若
，
，
，求证
．
丹东市2017~2018学年度上学期期末教学质量监测
高三理科数学答案与评分参考
本次高三期末考试属于一轮复习的终结性考试，整卷难度低于2017年高考试卷难度，目的是对第一轮复习的质量做出结论性鉴定，为二三轮复习计划制定提供依据。2018年3月末4月的初第一次模拟考试试卷难度应达到或超过2017年高考试卷的难度。
同学们寒假应该再去练习一下立体几何证明问题，建议理科同学把近5年的新课标文科高考试卷中的立体几何解答题做一遍。还应该复习一下立体几何求空间角的非向量方法。
一、选择题：
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C
7．C 8．A 9．D 10．B 11．A 12．A
二、填空题：
13．8 14．5 15．丁 16．12
11．解：
因为，，，所以
，直线
：
，代入得到
，所以
轴，
．
，
．．
12．解：
设
，
．所以
，
即
，得
（也可以建立坐标系得出）．
所以
，其中
．
因为
，若
存在最大值，则
，使得
，即
，得
，
．
由
，得
．
三、解答题：
17．解：
（1）
时，
，即
． …………2分
由题设，
，两式相减得
． …………4分
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故
． …………6分
（2）
．
两边同乘以
得
． …………8分
上式右边错位相减得
．
所以
． …………10分
化简得
． …………12分
18．解：
（1）从甲公司记录的100天中随机抽取1天，送餐单数超过40的概率
．
有放回地抽取3次，3次抽取中，恰有2次送餐单数超过40的概率是
． …………4分
（2）（i）设乙公司送餐员送餐单数为a，乙公司送餐员日工资为X元．
当a=38时，X=38×5=190；当a=39时，X=39×5=195；当a=40时，X=40×5=200；当a=41时，X=40×5+1×7=207；当a=42时，X=40×5+2×7=214．
X的所有可能取值为190，195，200，207，214． …………6分
故X的分布列为：
| X |
190 |
195 |
200 |
207 |
214 |
| P |
|
|
|
|
|
X的数学期望E（X）=190×
+195×
+200×+207×
+214×=
（元）．
…………8分
（ii）公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．
所以甲公司送餐员日平均工资为70+3×39.5=188.5（元）．
因为188.5＜202.2，故这个人应该选择去乙公司应聘． …………12分
19．解：
（1）在长方形中，连结
，因为，是中点，所以
，从而
，所以
．
因为，
，所以
平面．
因为
平面，所以平面平面． …………6分
（2）因为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，
为
轴，
为
轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． …………8分
设
，则
，
，
，
．
设
，则
．
设
是平面
的法向量，则
，即
，取
．
平取面
的一个法向量是
．
依题意
，即
，解方程得
，或
，取
，因此在线段上存点，使得二面角为大小为．
…………12分
20．解：
（1）设
，则
．
因为E到点A，与点B的斜率之积为，所以
，整理得C的方程为
． …………4分
（2）当l垂直于
轴时，l的方程为
，代入
得
，
．
． …………6分
当l不垂直于轴时，依题意可设
，代入得
．因为
，设
，
．
则
，
．
综上
，当l垂直于轴时等号成立，故的最大值是
．
…………12分
21．解：
（1）
．
若
，则
，在
单调递增． ………… 2分
若，当
时，
；当
时，
．于是在
单调递减，在
单调递增． …………6分
（2）方法1：
当时，，即
因为函数
在
单调递增，所以
． …………8分
设
，
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，单调递减．故
，所以
．
综上，的取值范围为
． …………12分
（2）方法2：
设
，则当
时，
．
由
，得
． …………8分
，当时，
，
单调递增，所以
．
若
，当时，
，单调递增，故
．因为
，所以．
若
，由
，
，知
在存在唯一零点，设为，则
．
当
时，
，单调递减；当
时，
，单调递增；故在有最小值
．
而
．由
得
．
由（1）得在
单调递减，所以
．
综上，的取值范围为． …………12分
22．解：
（1）的参数方程为
（
为参数）．
由得
，的直角坐标方程是
．
…………5分
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得
．
因为
，
，
，所以
．
所以
，当
时等号成立．因此取最小值
． …………10分
23．解：
（1）
，取等号时，
，即
或
，故
． …………5分
（2）由（1）
，所以
．
因为
，取等号时，
，因为，所以
，
．故． …………10分
丹东市2017~2018学年度上学期期末教学质量监测
高三理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数为奇函数的是
A． B．
C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左
视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与
内接三角形构成，则该此几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
5．执行右面的程序框图后，输出的
A．6
B．27
C．33
D．124
6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持
与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，
经计算，则所得到的统计学结论是：有（ ）
的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．
A． 99.9% B．99%
C．1% D．0.1%
附:
|
|
0.100 |
0.050 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
|
|
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
7．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为
A．12 B．24 C．48 D．60
8．三棱锥中，，分别是，的中点，若，，
则异面直线与所成角为
A． B． C． D．
9．已知是函数的极值点，若，，则
A．， B．，
C．， D．，
10．若函数在区间和上都是单调递增函数，则实数
的取值范围为
A． B． C． D．
11．双曲线：与抛物线有公共焦点，是它们的公
共点，设，若，则的离心率
A． B． C． D．
12．已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与，重合的一点，
设，若存在最大值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14．经过三点，，的圆的半径是______．
15．甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话：甲说：乙去
我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．
最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的
人一定是______．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则ab的最小值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
设为数列的前项和，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）
甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到频数表如下：
甲公司送餐员送餐单数频数表
| 送餐单数 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
| 天数 |
20 |
40 |
20 |
10 |
10 |
乙公司送餐员送餐单数频数表
| 送餐单数 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
| 天数 |
10 |
20 |
20 |
40 |
10 |
将上表中的频率视为概率，回答下列问题：
（1）现从甲公司随机抽取3名送餐员，求恰有2名送餐员送餐单数超过40的概率；
（2）（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的数学期望；
（ii）某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，他应该选择去哪家公司应聘，说明理由．
19．（12分）
长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2）．在图2中：
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存点，使得二面角为大小为，说明理由．
20．（12分）
已知动点E到点A与点B的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）过点D作直线l与曲线C交于，两点，求的最大值．
21．（12分）
设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．
（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；
（2）设与相交于，两点，求的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，，，求证．
丹东市2017~2018学年度上学期期末教学质量监测
高三理科数学答案与评分参考
本次高三期末考试属于一轮复习的终结性考试，整卷难度低于2017年高考试卷难度，目的是对第一轮复习的质量做出结论性鉴定，为二三轮复习计划制定提供依据。2018年3月末4月的初第一次模拟考试试卷难度应达到或超过2017年高考试卷的难度。
同学们寒假应该再去练习一下立体几何证明问题，建议理科同学把近5年的新课标文科高考试卷中的立体几何解答题做一遍。还应该复习一下立体几何求空间角的非向量方法。
一、选择题：
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C
7．C 8．A 9．D 10．B 11．A 12．A
二、填空题：
13．8 14．5 15．丁 16．12
11．解：
因为，，，所以，直线：，代入得到，所以轴，．
，．．
12．解：
设，．所以，
即，得（也可以建立坐标系得出）．
所以，其中．
因为，若存在最大值，则，使得，即，得，．
由，得．
三、解答题：
17．解：
（1）时，，即． …………2分
由题设，，两式相减得． …………4分
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故． …………6分
（2）．
两边同乘以得． …………8分
上式右边错位相减得
．
所以． …………10分
化简得． …………12分
18．解：
（1）从甲公司记录的100天中随机抽取1天，送餐单数超过40的概率．
有放回地抽取3次，3次抽取中，恰有2次送餐单数超过40的概率是
． …………4分
（2）（i）设乙公司送餐员送餐单数为a，乙公司送餐员日工资为X元．
当a=38时，X=38×5=190；当a=39时，X=39×5=195；当a=40时，X=40×5=200；当a=41时，X=40×5+1×7=207；当a=42时，X=40×5+2×7=214．
X的所有可能取值为190，195，200，207，214． …………6分
故X的分布列为：
| X |
190 |
195 |
200 |
207 |
214 |
| P |
|
|
|
|
|
X的数学期望E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=（元）．
…………8分
（ii）公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．
所以甲公司送餐员日平均工资为70+3×39.5=188.5（元）．
因为188.5＜202.2，故这个人应该选择去乙公司应聘． …………12分
19．解：
（1）在长方形中，连结，因为，是中点，所以，从而，所以．
因为，，所以平面．
因为平面，所以平面平面． …………6分
（2）因为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． …………8分
设，则，，，．
设，则．
设是平面的法向量，则，即，取．
平取面的一个法向量是．
依题意，即，解方程得，或，取，因此在线段上存点，使得二面角为大小为．
…………12分
20．解：
（1）设，则．
因为E到点A，与点B的斜率之积为，所以，整理得C的方程为． …………4分
（2）当l垂直于轴时，l的方程为，代入得，．
． …………6分
当l不垂直于轴时，依题意可设，代入得
．因为，设，．
则，．
综上，当l垂直于轴时等号成立，故的最大值是．
…………12分
21．解：
（1）．
若，则，在单调递增． ………… 2分
若，当时，；当时，．于是在单调递减，在单调递增． …………6分
（2）方法1：
当时，，即
因为函数在单调递增，所以． …………8分
设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，所以．
综上，的取值范围为． …………12分
（2）方法2：
设，则当时，．
由，得． …………8分
，当时，，单调递增，所以．
若，当时，，单调递增，故．因为，所以．
若，由，，知在存在唯一零点，设为，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在有最小值．
而．由得．
由（1）得在单调递减，所以．
综上，的取值范围为． …………12分
22．解：
（1）的参数方程为（为参数）．
由得，的直角坐标方程是．
…………5分
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．
因为，，，所以．
所以，当时等号成立．因此取最小值． …………10分
23．解：
（1），取等号时，，即或，故． …………5分
（2）由（1），所以．
因为，取等号时，，因为，所以，．故． …………10分