七年级上期末动点问题专题

考点：

一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170

分析：

（1）根据非负数的和为0，各项都为0；

（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；

（3）利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．

解答：

解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）²=0，

∴a=﹣1，b=3，

∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．

（2）当P在点A左侧时，

|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．

当P在点B右侧时，

|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．

∴上述两种情况的点P不存在．

当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，

∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，

∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2．

∴解得：x=2；

（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，

当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．

②|PM﹣PN|的值不变成立．

故当P在线段AB上时，

PM+PN=（PA+PB）=AB=2，

当P在AB延长线上或BA延长线上时，

|PM﹣PN|=|PA﹣PB|=|AB|=2．

点评：

此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．

利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

考点：

一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170

分析：

（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出PA，PB的长；

（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；

（3）根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．

解答：

解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，

∴PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）；

故答案为：|x+1|，|x﹣3|；

（2）分三种情况：

①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．

②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3，

∴（x+1）（x﹣3）=5，

∴x=3.5；

③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，

∴（﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，

∴x=﹣1.5；

（3）的值不发生变化．

理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，

AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，

AM=AP=+3t，

OM=OA﹣AM=5t+1﹣（+3t）=2t+，

ON=OB=10t+，

∴MN=OM+ON=12t+2，

∴==2，

∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，的值不发生变化．

点评：

此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．

考点：

两点间的距离．2097170

分析：

（1）求出MP，NP的长度，即可得出MN的长度；

（2）分三种情况：①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判断；

（3）设AC=BC=x，PB=y，分别表示出①、②的值，继而可作出判断．

解答：

解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，

∴MP=AP=4，

∴BP=AB﹣AP=6，

又∵点N是PB中点，

∴PN=PB=3，

∴MN=MP+PN=7．

（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN=AB=7．

（3）选择②．

设AC=BC=x，PB=y，

①==（在变化）；

（定值）．

点评：

本题考查了两点间的距离，解答本题注意分类讨论思想的运用，理解线段中点的定义，难度一般．

考点：

比较线段的长短．2097170

专题：

数形结合．

分析：

（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；

（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；

（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．

解答：

解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，

∴点P在线段AB上的处；

（2）如图：

∵AQ﹣BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ；

又AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴，

∴．

当点Q’在AB的延长线上时

AQ’﹣AP=PQ’

所以AQ’﹣BQ’=3PQ=AB

所以=；

（3）②．

理由：如图，当点C停止运动时，有，

∴；

∴，

∵，

∴，

∴；

当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，．

点评：

本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

考点：

一元一次方程的应用；比较线段的长短．2097170

分析：

（1）根据BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用点C对应的数是200，即可得出点A对应的数；

（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，得出等式方程求出即可；

（3）假设经过的时间为y，得出PE=10y，QD=5y，进而得出+5y﹣400=y，得出﹣AM=﹣y原题得证．

解答：

解：（1）∵BC=300，AB=，

所以AC=600，

C点对应200，

∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；

（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，

∴MR=（10+2）×，

RN=[600﹣（5+2）x]，

∴MR=4RN，

∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，

解得：x=60；

∴60秒时恰好满足MR=4RN；

（3）设经过的时间为y，

则PE=10y，QD=5y，

于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，

一半则是，

所以AM点为：+5y﹣400=y，

又QC=200+5y，

所以﹣AM=﹣y=300为定值．

点评：

此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．

考点：

两点间的距离；一元一次方程的应用．2097170

分析：

（1）先根据EF=CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE=AB﹣AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数量关系即可；

（2）根据中点定义可得AE=2EF，再根据BE=AB﹣AE整理即可得解；

（3）设DE=x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，计算即可得解．

解答：

解：（1）∵CE=6，CF=2，

∴EF=CE﹣CF=6﹣2=4，

∵F为AE的中点，

∴AE=2EF=2×4=8，

∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4，

若CF=m，

则BE=2m，

BE=2CF；

（2）（1）中BE=2CF仍然成立．

理由如下：∵F为AE的中点，

∴AE=2EF，

∴BE=AB﹣AE，

=12﹣2EF，

=12﹣2（CE﹣CF），

=12﹣2（6﹣CF），

=2CF；

（3）存在，DF=3．

理由如下：设DE=x，则DF=3x，

∴EF=2x，CF=6﹣x，BE=x+7，

由（2）知：BE=2CF，

∴x+7=2（6﹣x），

解得，x=1，

∴DF=3，CF=5，

∴=6．

点评：

本题考查了两点间的距离，中点的定义，准确识图，找出图中各线段之间的关系并准确判断出BE的表示是解题的关键．

考点：

比较线段的长短．2097170

专题：

分类讨论．

分析：

（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；

（2）根据图形即可直接解答；

（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．

解答：

解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm

∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm

∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm

（2）

（3）当点N在线段AB上时，如图

∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN

∴BN=AM=AB，∴MN=AB，即．

当点N在线段AB的延长线上时，如图

∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB

∴MN=AB，即．综上所述=

点评：

本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．

考点：

一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170

分析：

（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（﹣3+1）÷2进而求出即可；

（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；

（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．

解答：

解：（1）∵M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，

∴x的值是﹣1．

（2）存在符合题意的点P，

此时x=﹣3.5或1.5．      

（3）设运动t分钟时，点P对应的数是﹣3t，点M对应的数是﹣3﹣t，点N对应的数是1﹣4t．

①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，

所以﹣3﹣t=1﹣4t，解得，符合题意．      

②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．

情况1：如果点M在点N左侧，PM=﹣3t﹣（﹣3﹣t）=3﹣2t．PN=（1﹣4t）﹣（﹣3t）=1﹣t．

因为PM=PN，所以3﹣2t=1﹣t，

解得t=2．

此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．

情况2：如果点M在点N右侧，PM=（﹣3t）﹣（1﹣4t）=2t﹣3．PN=﹣3t﹣（1+4t）=t﹣1．

因为PM=PN，所以2t﹣3=t﹣1，

解得t=2．

此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，符合题意．

综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．

故答案为：﹣1．

点评：

此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．

考点：

数轴；一元一次方程的应用；两点间的距离．2097170

专题：

方程思想．

分析：

（1）B点表示的数为6﹣10=﹣4；点P表示的数为6﹣6t；

（2）点P运动x秒时，在点C处追上点R，然后建立方程6x﹣4x=10，解方程即可；

（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．

解答：

解：（1）答案为﹣4，6﹣6t；  

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图）

则AC=6x，BC=4x，

∵AC﹣BC=AB，

∴6x﹣4x=10，

解得：x=5，

∴点P运动5秒时，在点C处追上点R．

（3）线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：

分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，

∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．

点评：

本题考查了数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．

考点：

一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170

专题：

动点型．

分析：

（1）①设B点表示的数为x，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出其解，再根据数轴上点的运动就可以求出P点的坐标；

②分类讨论：当点P在点A、B两点之间运动时；当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN；

（2）先求出P、R从A、B出发相遇时的时间，再求出P、R相遇时P、Q之间剩余的路程的相遇时间，就可以求出P一共走的时间，由P的速度就可以求出P点行驶的路程．

解答：

解：（1）设B点表示的数为x，由题意，得

6﹣x=10，

x=﹣4

∴B点表示的数为：﹣4，

点P表示的数为：6﹣6t；

②线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：

分两种情况：

当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；

当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，

∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．

（2）由题意得：

P、R的相遇时间为：10÷（6+）=s，

P、Q剩余的路程为：10﹣（1+）×=，

P、Q相遇的时间为：÷（6+1）=s，

∴P点走的路程为：6×（）=

点评：

本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，行程问题中的路程=速度×时间的运用．