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中考数学几何选择填空压轴题精选

发表日期：2018-1-5 作者：沈阳育才家教网电话：159-4009-3009

中考数学几何选择填空压轴题精选

一．选择题（共13小题）

1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH²=HE•HB．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

2．（2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点E₄、E₅、…、E₂₀₁₃，分别记△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃、…、△BCE₂₀₁₃的面积为S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₃．则S₂₀₁₃的大小为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：

①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S_△_CDG=S_▭_DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（　　）

A．

①③

B．

②④

C．

①④

D．

②③

5．（2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（　　）

A．

5：3

B．

3：5

C．

4：3

D．

3：4

6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O₁，以AB，AO₁为两邻边作平行四边形ABC₁O₁，平行四边形ABC₁O₁的对角线交BD于点0₂，同样以AB，AO₂为两邻边作平行四边形ABC₂O₂．…，依此类推，则平行四边形ABC₂₀₀₉O₂₀₀₉的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

9．（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：

①（BE+CF）=BC；

②S_△_AEF≤S_△_ABC；

③S_四边形_AEDF=AD•EF；

④AD≥EF；

⑤AD与EF可能互相平分，

其中正确结论的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S_△_AGD=S_△_OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（　　）

A．

①④⑤

B．

①②④

C．

③④⑤

D．

②③④

11．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；

③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．

其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①②⑤

D．

②④⑤

12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共16小题）

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有　_________　．

15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂…，按此规律继续下去，可得到△A₅B₅C₅，则其面积为S₅=　_________　．第n次操作得到△A_nB_nC_n，则△A_nB_nC_n的面积S_n=　_________　．

16．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；连接AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为　_________　．

17．（2012•通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂； …；∠A₂₀₁₁BC与∠A₂₀₁₁CD的平分线相交于点A₂₀₁₂，得∠A₂₀₁₂，则∠A₂₀₁₂=　_________　．

18．（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=　_________　S_△_ABC（用含n的代数式表示）．

19．（2011•丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D₁是斜边AB的中点，过点D₁作D₁E₁⊥AC于点E₁，连接BE₁交CD₁于点D₂；过点D₂作D₂E₂⊥AC于点E₂，连接BE₂交CD₁于点D₃；过点D₃作D₃E₃⊥AC于点E₃，如此继续，可以依次得到点D₄、D₅、…、D_n，分别记△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面积为S₁、S₂、S₃、…S_n．设△ABC的面积是1，则S₁=　_________　，S_n=　_________　（用含n的代数式表示）．

20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　_________　．

21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则CA₁=　_________　，=　_________　．

22．（2013•沐川县二模）如图，点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射线OA上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n_﹣₁在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n_﹣₁B_n_﹣₁，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n_﹣₁，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n_﹣₁A_nB_n_﹣₁为阴影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，则△A₁A₂B₁的面积为　_________　；面积小于2011的阴影三角形共有　_________　个．

23．（2010•鲤城区质检）如图，已知点A₁（a，1）在直线l：上，以点A₁为圆心，以为半径画弧，交x轴于点B₁、B₂，过点B₂作A₁B₁的平行线交直线l于点A₂，在x轴上取一点B₃，使得A₂B₃=A₂B₂，再过点B₃作A₂B₂的平行线交直线l于点A₃，在x轴上取一点B₄，使得A₃B₄=A₃B₃，按此规律继续作下去，则①a=　_________　；②△A₄B₄B₅的面积是　_________　．

24．（2013•松北区二模）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于　_________　．

25．（2007•淄川区二模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于　_________　．

26．（2009•泰兴市模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃且S₁+S₃=4S₂，则CD=　_________　AB．

27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是　_________　个．

28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S_△_APD=15cm²，S_△_BQC=25cm²，则阴影部分的面积为　_________　cm²．

29．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　_________　．

30．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围（）．

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH²=HE•HB．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

解答：

解：作EJ⊥BD于J，连接EF

①∵BE平分∠DBC

∴EC=EJ，

∴△DJE≌△ECF

∴DE=FE

∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°

∴∠HFE==22.5°

∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°

∵DH=HF，OH是△DBF的中位线

∴OH∥BF

∴OH=BF

②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分线，

∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；

③∵OH是△BFD的中位线，

∴DG=CG=BC，GH=CF，

∵CE=CF，

∴GH=CF=CE

∵CE＜CG=BC，

∴GH＜BC，故此结论不成立；

④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，

∴∠DBH=22.5°，

由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，

∴∠DBH=∠CDF，

∵∠BHD=∠BHD，

∴△DHE∽△BHD，

∴=

∴DH=HE•HB，故④成立；

所以①②④正确．

故选C．

A．

B．

C．

D．

解答：

解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴AC==BC=6，

∴S_△_ABC=AC•BC=6，

∵D₁E₁⊥AC，

∴D₁E₁∥BC，

∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，

∵D₁是斜边AB的中点，

∴D₁E₁=BC，CE₁=AC，

∴S₁=BC•CE₁=BC×AC=×AC•BC=S_△_ABC；

∴在△ACB中，D₂为其重心，

∴D₂E₁=BE₁，

∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=××AC•BC=S_△_ABC，

∴D₃E₃=BC，CE₂=AC，S₃=S_△_ABC…；

∴S_n=S_△_ABC；

∴S₂₀₁₃=×6=．

故选C．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

解答：

解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；

用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；

由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，

∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，

∴∠GED=∠CED=45°，

∴△GED≌△CED，

∴DG=DC；

④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S_△_AGC=S_AEC﹣S_GEC=﹣+x=﹣（x²﹣2x）

=﹣（x²﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）²+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，

故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．

故正确的个数有3个．

故选C．

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：

①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S_△_CDG=S_▭_DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（　　）

A．

①③

B．

②④

C．

①④

D．

②③

解答：

解：∵DF=BD，

∴∠DFB=∠DBF，

∵AD∥BC，DE=BC，

∴∠DEC=∠DBC=45°，

∴∠DEC=2∠EFB，

∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，

∴CG=BC=DE，

∵DE=DC，

∴∠DEG=∠DCE，

∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，

∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF），

=180°﹣（∠BGD+∠BGC），

=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2，

=180°﹣（180°﹣45°）÷2，

=112.5°，

∴∠GHC=∠DGE，

∴△CHG≌△EGD，

∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，

∴∠GDH=∠GHD，

∴S_△_CDG=S_▭_DHGE．

故选D．

A．

5：3

B．

3：5

C．

4：3

D．

3：4

解答：

解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，

∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，

∴CD=BC=5，DF∥CE，

∴∠ECD=∠CDF，

∵∠EMC=∠DMF，

∴△ECM∽△FDM，

∴DM：MC=DF：CE，

∵DF==4，

∴DM：MC=DF：CE=4：3．

故选C．

A．

B．

C．

D．

解答：

解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，

∴平行四边形ABC₁O₁的面积为，

∵平行四边形ABC₁O₁的对角线互相平分，

∴平行四边形ABC₂O₂的面积为×=，

…，

依此类推，平行四边形ABC₂₀₀₉O₂₀₀₉的面积为．

故选B．

7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

解答：

解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），

∵AB=4，∠BAC=45°，

∴BH=AB•sin45°=6×=3．

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3．

故选C．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

解答：

解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P为BC边的中点，

∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正确．

故选D．

9．（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：

①（BE+CF）=BC；

②S_△_AEF≤S_△_ABC；

③S_四边形_AEDF=AD•EF；

④AD≥EF；

⑤AD与EF可能互相平分，

其中正确结论的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

解答：

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

∵，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．

∵S_△_AEF=AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）²+a²，

∴当x=a时，S_△_AEF有最大值a²，

又∵S_△_ABC=×a²=a²，

∴S_△_AEF≤S_△_ABC．

故②正确；

EF²=AE²+AF²=x²+（a﹣x）²=2（x﹣a）²+a²，

∴当x=a时，EF²取得最小值a²，

∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），

而AD=a，∴EF≥AD．

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，

∴S_四边形_AEDF=S_△_AED+S_△_ADF=S_△_CFD+S_△_ADF=S_△_ADC=AD²，

∵EF≥AD，

∴AD•EF≥AD²，

∴AD•EF＞S_四边形_AEDF

故③错误；

当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．

故⑤正确．

综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．

故选C．

A．

①④⑤

B．

①②④

C．

③④⑤

D．

②③④

解答：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，

故①正确．

∵tan∠AED=，

由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴tan∠AED=＞2，

故②错误．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

∴S_△_AGD＞S_△_OGD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG．

故⑤正确．

∴其中正确结论的序号是：①④⑤．

故选：A．

③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．

其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①②⑤

D．

②④⑤

解答：

解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；

②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；

③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；

④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；

⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S_△_BCE：S_△_BCG=（x+x）：x=，此结论正确；

故正确的结论有①②⑤．

故选C．

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

解答：

解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB=∠CDF=45°．

∵AD=CD，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．

∵∠ALH+∠LAF=90°，

∴∠LHC+∠DAF=90°．

∵∠ECF=∠DAF，

∴∠FHC=∠FCH，

∴FH=FC．

∴FH=AF．

（2）∵FH⊥AE，FH=AF，

∴∠HAE=45°．

（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，

∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，

∴∠AFO=∠GHF．

∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA=GF．

∵BD=2OA，

∴BD=2FG．

（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，

根据△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，

同理，可得：AL=HE，

∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．

∴△CEH的周长为8，为定值．

故（1）（2）（3）（4）结论都正确．

故选D．

13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

解答：

解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，

在梯形GDBE中，S_△_DGE=S_△_GEB（同底等高的两三角形面积相等），

同理S_△_GKE=S_△_GFE．

∴S_阴影=S_△_DGE+S_△_GKE，

=S_△_GEB+S_△_GEF，

=S_正方形_GBEF，

=4×4

=16

故选D．

二．填空题（共16小题）

解答：

解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，

∴AE⊥BC，即②正确．

∵∠MBE=45°，

∴BE=ME．

在△ABE与△CME中，

∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，

∴△ABE≌△CME，

∴AB=CM，即①正确．

∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，

∴∠MCE+∠MBC＜90°，

∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．

∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，

∴EF=AB，EG=CM．

又∵AB=CM，

∴EF=EG，即④正确．

故正确的是①②④．

15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂…，按此规律继续下去，可得到△A₅B₅C₅，则其面积为S₅=　2476099　．第n次操作得到△A_nB_nC_n，则△A_nB_nC_n的面积S_n=　19ⁿ　．

解答：

解：连接A₁C；

S_△_AA1C=3S_△_ABC=3，

S_△_AA1C1=2S_△_AA1C=6，

所以S_△_A1B1C1=6×3+1=19；

同理得S_△_A2B2C2=19×19=361；

S_△_A3B3C3=361×19=6859，

S_△_A4B4C4=6859×19=130321，

S_△_A5B5C5=130321×19=2476099，

从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△A_nB_nC_n，

则其面积S_n=19ⁿ•S₁=19ⁿ故答案是：2476099；19ⁿ．

解答：

解：连接DB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．AC⊥DB，

∵∠DAB=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴DB=AD=1，

∴BM=，

∴AM==，

∴AC=，

同理可得AC₁=AC=（）²，AC₂=AC₁=3=（）³，

按此规律所作的第n个菱形的边长为（）ⁿ^﹣¹

故答案为（）ⁿ^﹣¹．

解答：

解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，

∴∠A₁BC=∠ABC，∠A₁CD=∠ACD，

根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A₁+∠A₁BC=∠A₁CD，

∴∠A₁+∠A₁BC=∠A₁+∠ABC=（∠A+∠ABC），

整理得，∠A₁=∠A=，

同理可得，∠A₂=∠A₁=×=，

…，

∠A₂₀₁₂=．

故答案为：．

解答：

解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=BC，CE₁=AC，S₁=S_△_ABC；

∴在△ACB中，D₂为其重心，

∴D₂E₁=BE₁，

∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=S_△_ABC，

∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，

∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：D₁E₁=3，

∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，

∴D₃E₃=D₂E₂=×BC=BC，CE₃=CE₂=×AC=AC，S₃=S_△_ABC…；

∴S_n=S_△_ABC．

19．（2011•丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D₁是斜边AB的中点，过点D₁作D₁E₁⊥AC于点E₁，连接BE₁交CD₁于点D₂；过点D₂作D₂E₂⊥AC于点E₂，连接BE₂交CD₁于点D₃；过点D₃作D₃E₃⊥AC于点E₃，如此继续，可以依次得到点D₄、D₅、…、D_n，分别记△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面积为S₁、S₂、S₃、…S_n．设△ABC的面积是1，则S₁=　　，S_n=　　（用含n的代数式表示）．

解答：

解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；

∴S₁=S_△_D1E1A=S_△_ABC，

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=BC，CE₁=AC，S₁=S_△_ABC；

∴在△ACB中，D₂为其重心，

又D₁E₁为三角形的中位线，∴D₁E₁∥BC，

∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B，且相似比为1：2，

即=，

∴D₂E₁=BE₁，

∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=S_△_ABC，

∴D₃E₃=BC，CE₃=AC，S₃=S_△_ABC…；

∴S_n=S_△_ABC．

故答案为：，．

20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　2.4　．

解答：

解：∵四边形AFPE是矩形

∴AM=AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短

∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB

∴AP：AC=AB：BC

∴AP：8=6：10

∴AP最短时，AP=4.8

∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4．

点评：

解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．

解答：

解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=，

又因为CA₁⊥AB，

∴AB•CA₁=AC•BC，

即CA₁===．

∵C₄A₅⊥AB，

∴△BA₅C₄∽△BCA，

∴，

∴==．

所以应填和．

22．（2013•沐川县二模）如图，点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射线OA上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n_﹣₁在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n_﹣₁B_n_﹣₁，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n_﹣₁，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n_﹣₁A_nB_n_﹣₁为阴影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，则△A₁A₂B₁的面积为　　；面积小于2011的阴影三角形共有　6　个．

解答：

解：由题意得，△A₂B₁B₂∽△A₃B₂B₃，

∴==，==，

又∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，

∴===，==，

∴OA₁=A₁A₂，B₁B₂=B₂B₃

继而可得出规律：A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄…；B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄…

又△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，

∴S_△_A1B1A2=，S_△_A2B2A3=2，

继而可推出S_△_A3B3A4=8，S_△_A_，_4B4A5=32，S_△_A5B5A6=128，S_△_A6B6A7=512，S_△_A7B7A8=2048，

故可得小于2011的阴影三角形的有：△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，△A₄B₄A₅，△A₅B₅A₆，△A₆B₆A₇，共6个．

故答案是：；6．

解答：

解：如图所示：

①将点A₁（a，1）代入直线1中，可得，

所以a=．

②△A₁B₁B₂的面积为：S==；

因为△OA₁B₁∽△OA₂B₂，所以2A₁B₁=A₂B₂，又因为两线段平行，可知△A₁B₁B₂∽△A₂B₂B₃，所以△A₂B₂B₃的面积为S₁=4S；

以此类推，△A₄B₄B₅的面积等于64S=．

24．（2013•松北区二模）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于　16　．

解答：

解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足．

∵∠BAC=∠BOC=90°，

∴ABCO四点共圆，

∴∠OAG=∠OBC=45°

∴△AGO是等腰直角三角形，

∴2AG²=2GO²=AO²==72，

∴OG=AG=6，

∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG，

∴△ABH∽△GOH，

∴AB/OG=AH/（AG﹣AH），

∵AB=4，OG=AG=6，

∴AH=2.4

在直角△OHC中，∵HG=AG﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高，

∴OG²=HG×GC，

而OG=6，GH=3.6，

∴GC=10．

∴AC=AG+GC=6+10=16．

故AC边的长是16．

25．（2007•淄川区二模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于　　．

解答：

解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠HEF=90°，

同理四边形EFGH的其它内角都是90°，

∴四边形EFGH是矩形．

∴EH=FG（矩形的对边相等）；

又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，

∴∠1=∠5（等量代换），

同理∠5=∠7=∠8，

∴∠1=∠8，

∴Rt△AHE≌Rt△CFG，

∴AH=CF=FN，

又∵HD=HN，

∴AD=HF，

在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，

∴HF=5，

又∵HE•EF=HF•EM，

∴EM=，

又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），

∴AB=2EM=，

∴AD：AB=5：=．

故答案为：．

26．（2009•泰兴市模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃且S₁+S₃=4S₂，则CD=　3　AB．

解答：

解：∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，

其面积分别是S₁、S₂、S₃，

∴S₁=，S₂=，S₃=

∵S₁+S₃=4S₂，

∴AD²+BC²=4AB²

过点B作BK∥AD交CD于点K，

∵AB∥CD

∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC

∵∠ADC+∠BCD=90°

∴∠BKC+∠BCD=90°

∴BK²+BC²=CK²

∴AD²+BC²=CK²

∴CK²=4AB²

∴CK=2AB

∴CD=3AB．

27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是　91　个．

解答：

解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+2²=5个菱形，图3中有5+3²=14个菱形，图4中有14+4²=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+5²=55，第6个图中菱形的个数是55+6²=91个．

故答案为91．

28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S_△_APD=15cm²，S_△_BQC=25cm²，则阴影部分的面积为　40　cm²．

解答：

解：如图，连接EF

∵△ADF与△DEF同底等高，

∴S_△_ADF=S_△_DEF

即S_△_ADF﹣S_△_DPF=S_△_DEF﹣S_△_DPF，

即S_△_APD=S_△_EPF=15cm²，

同理可得S_△_BQC=S_△_EFQ=25cm²，

∴阴影部分的面积为S_△_EPF+S_△_EFQ=15+25=40cm²．

故答案为40．

29．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　　．

解答：

解：连接AE，BE，DF，CF．

∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，

∴AB=AE=BE，

∴△AEB是等边三角形，

∴边AB上的高线为EN=，

延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，

则EM=1﹣EN=1﹣，

∴NF=EM=1﹣，

∴EF=1﹣EM﹣NF=﹣1．

故答案为﹣1．

30．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．

解答：

解：连接AC．

∵AB=2，BC=4，

在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．

∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，

在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，

∴1＜AD＜13．

故AD的取值范围是1＜AD＜13．