2017——2018学年度上学期省六校协作体高三期初考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.）
1.设
为虚数单位，若
，则
的共轭复数
（ ）
2.已知全集
，集合
，
，则
为（ ）
3.已知实数
成等比数列，则
（ ）
4.已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图
如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为
，
则该
几何体的体积是（ ）
5.在区间
上随机取一实数
，使得
的概率为（ ）
6.若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
7.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，
四名同学对于谁获得特等奖进行预测.
说：不是1号就是2号获得特等奖；
说:3号不可能获得特等奖；
说:4，5，6号不可能获得特等奖；
说；能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学.
号中的一个
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
9.已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，且
右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）
10.已知函数
，则
的图象大致为( )
11.已知向量
，
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
12. 已知函数
有两个零点
，
，且
，则下面说法正确的是（ ）
有极小值点
，且
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13.已知
，则
.
14.设曲线
在点
处的切线方程为
，则实数
的值为 .
15. 已知点
，
，
的周长是
，则的顶点
的轨迹方程
为 .
1
6.各项均为正数的数列
的前项和为
，且满足
，则
__________．[来源:Zxxk.Com]
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在
中，内角
的对边分别为
，且
(1)求角的值；
(2)若的面积为
，的周长为
，求边长
18.（本小题满分12分）
全世界越来越关注环境保护问题，某市监测站点于2016年8月1日起连续
天监测空气质量指数
，数据统计如下：
| 空气质量指数 |
0－50 |
51－100 |
101－150 |
151－200 |
201－250 |
| 空气质量等级 |
空气优[来源:Z|xx|k.Com] |
空气良 |
轻度污染 |
中度污染 |
重度污染 |
| 天数 |
20 |
40 |
|
10 |
5 |
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求
出的值，并完成頻率分布直方图：
（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别为51－100和151－200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取
天，从中任意选取天，求事件 “两天空气都为良”发生的概率.
19. （本小题满分12分）
已知等腰梯形
(图1)中，
，
，
，是
中点，将
沿
折起，构成四棱锥
(图2)
分别是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）当平面
平面
时，求点到平面
的距离。
 |
20. （本小题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设点
，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接
交椭圆于另一点
,证明：直线
与轴相交于定点。
21. （本小题满分12分）
已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若对任意
都有
恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
.
选考题（请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑）
22.(本小题满分10分)选修
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
为参数)，以原点
为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
.[来源:Zxxk.Com]
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线交于点
，若点的坐标为
，求
的值。
23.(本小题满分10分)选修
：不等式选讲
已知
（1）求
的解集；
（2）若
，对
，
恒成立，求实数的取值范围.
2017——2018学年度上学期省六校协作体高三期初考试
数学（文科）答案
一．选择题：BCAA CBCB BABD
二、填空题：
 |
13. ； 14. 
；[来源:学&科&网]
 |
|||
 |
|||
15. ； 16. _______ ___．
三、解答题
17.（本小题满分12分）
解
，
，
，
，
，
，
，
.………………………………………………6分
,
,
又
，
，解得
.………
……………………………………………12分
18.（本小题满分12分）
（1）
，
，
，
，
，
，
，
.…………3分
(2)平均数
，中位数
.……………………7分
(3) 在空气质量指数为
和
的监测天数中分别抽取
天和天，在所抽収的天中，将空气质量指数为的天分别记为
；将空气质量指数为的天记为
，从中任取天的基本事件分别为： 
共
种，其中事件 “两天空气都为良”包含的基本事件为
共种，所以事件 “两天都为良”发生的概率是
.…………………………………………12分
19.（本小题满分12分）
(1)证明：取的中点,连接
.
都是等边三角形,
,
,
平面
.
分别为的中点,
,
,
四边形
是平行四边形.
,平面
平面平面……………………6分
(2)设点到平面的距离为
平面平面,
平面
,
=
.……………………………………………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为
直线与圆相切，
[来源:学科网]
解得
故椭圆的方程为
.………………………………………4分
（2）由题意知直线的斜率存在，所以设直线的方程为
，
由
，得
，
设点
，
，则
，
，
①
直线的方程为
，令
得
，
有
，
代入上式，整理得
②
将①式代入②式整理得
，
所以直线与轴相交于定点
.………………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）当时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故函数的单调递增区间为
单调递减区间为
.…………………………4分
（2）由题，
，
①当
时，恒成立，在
内单调递增，
，符合题意；
②当
时，令
，解得
，
ⅰ）当
时，
，在内单调递增，，符合题意；
ⅱ）当
时，
，在
内单调递减，
，不符题意；
故实数的取值范围为
.………………………………………………………………8分
（3）欲证
，即证
，
由（2）知，当
时，
，即当时，
，（当且仅当
时取等）.
取
，则
，即
，
同理，
，
，…，
，
以上各式相加，得，故原不等式成立.…………………………12分
22. (本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程
解：(1)直线：
，
，
，
，
圆的直角坐标方程为
.…………………………………………………4分
(2)把直线的参数方程代入，得
设，两点对应的参数分别为
，
，
，
，
（
同号)
.…………………………………………10分
23. (本小题满分10分)选修：不等式选讲
解：，
当
时，有
，得；
当
时，有
，得
；
当
时，有
，得
.
综上所述：原不等式的解集为
.…………………………………………4分
（2）
由题，
，如图
又，
，且，
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
，
.由
恒成立，
，结合图像知，
，
实数的取值范围是
.………………………………………………………………10分