2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学(文科)
命题：沈阳市第31中学 闫 通 沈阳市第36中学 曹 明 东北育才学校 王成栋
沈阳市第120中学 张丽娜 沈阳市回民中学 朱晓丽 沈河区教研员 王丽萍
主审：沈阳市教育研究院 王孝宇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区
域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若集合
，
，则
等于
（A）
（B）
（C） 
（D）
2. 已知
是虚数单位，则满足
的复数
在复平面上对应点所在的象限为
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3. 已知向量
与
不共线，
，
R)，则
与
共线的条件是
（A）
（B）
（C）
（D） 
4. 已知函数
，
，动直线
与
和
的图象分别交于
、
两点，则
的取值范围是
（A）[0，1] （B）[0，
] （C）[0，2] （D）[1，]
5. 在边长为
的正方形
内部取一点
，则满足
为锐角的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
6. 
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，无宽，高1丈。现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为
（A）4立方丈 （B）5立方丈
（C）6立方丈 （D）8立方丈
7. 图中阴影部分的面积S是高h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是
（A） （B） （C） （D）
8. 已知
，
是抛物线
的焦点，
是抛物线上的
动点，则
周长的最小值为
（A）9 （B）10
（C）11 （D）15
9. 按右图所示的程序框图，若输入
，
则输出的
（A）53 （B）51
（C）49 （D）47
10. 将长宽分别为和
的长方形沿对角线
折起，
得到四面体
，则四面体外接球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
11. 已知数列
是等差数列且满足
，
设
为数列
的前
项和，则
为
（A）
（B）
（C）
（D）
12. 设函数
的定义域为
，若满足条件：存在
，使在
上的值域为
，则称为“倍缩函数”.若函数
为“倍缩函数”，则实数
的取值范围是
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．已知
是第二象限角，且sin(
，则tan2
的值为 .
14．已知实数
满足：
，则
的最小值为 .
15.已知双曲线
的右顶点为 ，
为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线
的一条渐近线交于
、
两点，若
， 且
，则双曲线的渐近线方程为 .
16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
,
，若此数列被
整除后的余数构成一个新数列
，则
.
三、解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
如图，已知
中，为
上一点，
，
，
．
（I）求
的长；
（II）若
的面积为
，求
的长．
18. （本小题满分12分）
“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：
（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值和方差（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成下列2×2列联表，并据此样本分析你是否有
的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
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（参考公式：
）
（Ⅲ）在和两个城市满意度在
分以上的用户中任取户，求来自不同城市的概率.
19. （本小题满分12分）
在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
交
于，
（I）求证：平面
平面
（II）延长
至
，使
，连结
，
. 试在棱
上确定一点
，使
平面
，并求此时
的值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆
的离心率
，且与直线
相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上点
作椭圆的弦
，若的中点分别为
，若
平行于
，则
斜率之和是否为定值？
21. （本小题满分12分）
已知
R)
（I）求的单调区间；
（II）已知常数
，求证：对于
，都有
恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换
得到曲线
，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点
（极坐标）且倾斜角为
的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求
的值．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知正实数
，函数
．
（Ⅰ）若
，解关于的不等式
；
（Ⅱ）求证：
.