沈阳二中2015—2016学年度下学期期中考试
高一（18届）数学试题
命题人： 高一数学组 审校
人： 高一数学组
说明：1.测试时间：12
0分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数据a1，a2，a3，…，an的方差为s2，则数据2a1,2a2,2a3，…，2an的方差为( )
A. B．s2 C．2s2 D．4s2
2.如图所示的程序框图中的错误是( )
A．i没有赋值
B．循环结构有错
C．s的计算不对
D．判断条件不成立
3..已知点A(1,1) ,B(5,3) ,向量
绕点A逆时针旋转
到
的位置,则点C的坐标为( )
A.(-1,5) B.(1,-5) C.(-4,2) D.(2,-4)
4．函数
的单调减区间为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，沿田字型路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求
经过点C的概率 ( )
A.
B. C. 
D.
7.若将函数
的图像向右平移
个单位长度后，与函数
的图像重合，则
的最小值为( )
A．
B.
C.
D.
8.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄
球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概
率为( )
A.0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 
9.已知
A．
B.-1 C.1 D. 
11.已知菱形ABCD的边长为2 ,
,点E,F分别在边BC,DC上,
,
.若
,则
( )
A. B.
C.
D.
[来源:Z+xx+k.Com]
12.已知向量
满足
,
,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷 （90分）
二、 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则向量a与b的夹角的取
值范围是_____________________
14.
的值为_____________
15．在
中，已知
，AD与BC交于点M，设
，
以
和
为基底表示向量
的表达式是__________________.
16.已知
,则
的值为________________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
[来源:学*科*网]
18. (本小题满分12分）
已知函数
(A>0,ω>0,
)的图像与x轴的一个交点为
，与此交点距离最短的最高点坐标是（
。
(1)求函数f(x)的表达式。
(2)求方程f(x)=a(-1<a<0)在
内的所有实数根之和。
19.（本小题满分12分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
| 分组（重量） |
|
|
|
|
| 频数（个） |
5 |
10 |
20 |
15 |
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在
的频率；[来源:学|科|网]
(2) 用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中共抽取4个，其中重
量在的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各
有1个的概率．
20.（本小题满分12分）
已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴
的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.[来源:Zxxk.Com]
(1)若A点的坐标为
，求
的值；
(2)求
的取值范围．
Y
B
A
O C x
O[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网ZXXK]
21.(本小题满分12分)
欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的
接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α(0°<α<90°)
应为多大时，方能使修建成本最低?
22.(本小题满分12分）
已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=
|a－kb|，
其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
沈阳二中2015——2016学年度下学期期中考试
高一（18届）数学试题
一、选择题（每题5分，共60分）
DAABC BDAAB CA[来源:学科网ZXXK]
13. [，π] 14. 1 15.
16. 
三、解答题
17.解: (1)
………………………………………………………….5
(2)
…………………………………………………………..10
18.解:（1）依题意A=1 ,
,所以
………………………………………………………………….3
又∵
∴
而
∴
∴
……………………………………………………………………………………6
(2) ∵的最小正周期是 
∴在
内恰有两个周期,
∴f(x)=a(-1<a<0)在内4个实根,可设为
(
)
且有
……………………………………………………………………..10
∴在内的所有实数根之和
=
………………………………..12
19.解：．（1）重量在
的频率
；…………………………..4
（2）若采用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中共抽取4个，则重量在的个数
；……………………………………………….8
（3）设在中抽取的一个苹果为
，在中抽取的三个苹果分别为
，从抽出的
个苹果中，任取
个共有
种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有
种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件
，则事件的概率
；…………………………………12
20.(1)∵A点的坐标为∴tanα＝，………………………………2
…………………………………………………………………….6
(2)设A点的坐标为(cosα，sinα)，∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为(cos(α＋)，sin(α＋))，且C(1,0)，
∴|BC|2＝[cos(α＋)－1]2＋sin2(α＋)＝2－2cos(α＋)．…….8
而A、B分别在第一、二象限，
∴α∈(，)．∴α＋∈(，)，………………………………10
∴cos(α＋)∈(－，0)．
∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)………………………………………………12
21.作BE⊥DC于E(图略)，在Rt△BEC中，BC=
,CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=
,故CD=
-hcotα……………………………4
设y=AD+DC+BC,则y=
(0°<α<90°)，
由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=
取最小值，………………7
u可看作(0，2)与(-sinα,cosα)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),
点(-sinα,cosα)在曲线x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，………………………………………………………………10
此时切点为(-
，
)，则有sinα=,且cosα=，那么α=60°.
∴当α=60°时，修建成本最低……………………………….12[来源:学科网]
22..解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2 k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2 a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)， ∴a2=1, b2=1,
∴a·b =
=
……………………………………………6
（2）∵
即 k2+1≥2k，即≥
= ∴a·b的最小值为，
又∵a·b=| a|·|b |·cos
，|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。………………………………………….12