哈尔滨市第六中学校2017届第一次模拟考试
数学（文史类）
出题人：黄金雷 审题人：李 新
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 [来源:学#科#网Z#X#X#K]
1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡， 满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.
1. 已知集合
，
，则
( )
A. 
B.
C.
D.
2．已知
是虚数单位，且复数
是实数，则实数
的值为 ( )
A．
B．
C．0 D．
3. 已知点
向量
，则向量
= ( )
A．
B．
C．
D．
4. 已知函数
则
( )
A．
B．
C．
D．
5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆
术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 ( )
（参考数据：
）
A． B． C．
D．
6题图
5题图
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( )
A．
B．160 C. 
D．60
7.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为
的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为。将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为
则与
最接近的角是 ( )
参考值：
，
，
，
A．
B．
C．
D．
8. 将函数
的图像向左平移
个单位长度，若所得图像对应的函数为偶函数，则
的最小值为 ( )
A．
B．
C．
D．
9. 已知椭圆
过点
，当
取得最小值时，椭圆的离心率为 ( )
A．
B．
C．
D．
10. 已知奇函数
在
上是增函数，若
，则 ( )
A．
B．
C．
D．
11. 过圆
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，若
，则实数
( )
A．
B．
C．
D．
12. 已知函数
若函数
有6个不同的零点，则这6个零点之和为 ( )
A．
B． C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.
13.若
满足约束条件
，则
的最大值为 。
14.点
在同一个球的球面上，
，若四面体
体积的最大值为
，则该球的表面积为 。
15.在
中，三边
的对角分别为
，若
，则
。
16.某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：
①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌 ②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多
③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌 ④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多
其中正确结论的序号为 。
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设等差数列
的前
项和为
,且
(
是常数,
),
.
(1)求数列的通项公式
(2)证明:
18. （本小题满分12分）
如图，已知
是圆
的直径，
是
的中点，
.
（1）证明：
（2）求证：
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19. （本小题满分12分）
2017年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的班主任工作年限不同的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：
| 班主任工作年限 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
| 被关注数量 |
10 |
20 |
40 |
60 |
50 |
（1）若”好老师”的被关注数量
与其班主任的工作年限
满足线性回归方程，试求回归方程
，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；
（2）若用
表示统计数据时被关注数量的“即时均值”（四舍五入到整数），从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率。
20. （本小题满分12分）
已知抛物线
的焦点为
，准线为
，圆
被直线截得的线段长为
。
（1）求抛物线
和圆
的方程；
（2）设直线与轴的交点为
，过点的直线与抛物线交于
两点，求证：直线
的斜率与直线
的斜率的和为定值。
21. （本小题满分12分）
已知函数
。
（1）求函数
在
处的切线方程；
（2）设
讨论函数
的零点个数。
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请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分)
选修4-4：极坐标与参数方程
已知直线
，椭圆
，为椭圆
的右焦点。
（1）当
时，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线和曲线的极坐标方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，求
的最大值与最小值。
23.（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知
。
（1）求不等式
的解集；
（2）若
，求证：
。
哈尔滨市第六中学2017届高三第一次模拟考试试卷
文科数学答案
一．选择题
1-5 CAADB 6-10ACDDD 11-12 AB
二．填空题
13. 1 14. 
15.2017 16. ②
三．解答题
17.(1) 
6分
(2)左=
得证 6分
18.(1)略 6分 (2) 略 6分
19.(1) 
4分 
78百人 2分
(2) 
6分
20.(1) 
3分 
1分
(2)定值为0 8分
21.(1) 
4分
(2) 
1个 
2个 
0个 8分
22.(1) 
5分
(2) 
5分[来源:学科网ZXXK]
23.(1) 
5分
(2) 略5分