2016-2017学年东北育才高中部高三年级第五次模拟考试
数学（文科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
，则
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数
对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量
满足
，且
,则向量
与
的夹角
A.
B.
C.
D.
4.设
是等差
数列
的前
项和，且
，则
A.9 B.8 C.7 D. 6
5.已知圆
的半径为
，圆心在
轴的正半轴上，直线
与圆相切，
则圆的方程为
A.
B.
C.
D.
6.在如右图所示程序框图中，任意输入一次
与
，则能输出“恭喜中奖！”的概率为
A.
B.
C.
D.
7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边
求三角形面积的“三斜公式”，设
三个内角
所对的边分别为
，面积为
，则
“三斜求积”公式为
.若
，则用“三斜求积”公式求得的面积为
A.
B.2 C.3 D.
[来源:Zxxk.Com]
8.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰
直角三角形，则该四棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．4
9. 我们知道：在平面内，点
到直线
的距离公式为
，通过类比的方法，可求得：在空间中，点
到平面
的距离为 A.3 B.5 C.
D.
10. 对函数
的零点个数判断正确的是
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
11.已知点
是抛物线
与圆
在第一象限的公共点，且点到抛物线
焦点
的距离等于
.若抛物线上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值为
，则
为 A．
B． C.
D．
12.函数
与函数
的图象至少有两个公共点，关于
不等式
有解，则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．[来源:学&科&网]
13.设实数
满足
，则
的最大值为
14. 已知数列
的前
项和为
，且
，则
15.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：
（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是 ．
16.三棱锥
的四个顶点都
在球
的球面上，已知
两两垂直，且
，则当三棱锥的体积最大是，球的表面积为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求函数
的单调减区间.
18.（本题满分12分）
如图，正方形
所在平面与三角形
所在平面相交于
，
平面，且
,
.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求凸多面体
的体积.
19. （本小题满分12 分）
从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这100份数学试卷的样本平均分
和样本方差
.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）从总分在[55，65）和[135，145）的试卷中随机抽取2分试卷，求抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率．
20.已知
为椭圆
的右焦点，直线
过坐标原点，与椭圆分别交于点
两点，且
，椭圆的离心率
。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线
过椭圆的右焦点，且与椭圆交于
两点，若
是钝角，求直线的斜率的取值范围。
21．(本小题满分l2分)
已知函数
，
．
（Ⅰ）求函数
在点
点处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，≤
恒成立，求的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程
为
（
为参数），以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为
，求直线被曲线截得的弦长.
[来源:Zxxk.Com]
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
，
（Ⅰ）若关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于
的一元二次方程
有实根，求实数
的取值范围.
2016-2017学年东北育才高中部高三年级第五次模拟考试
数学（文科）试卷答案
1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、A 8、B 9、B 10、C 11、B 12、B
13、5
14、722
15、跑步
16、
17、
解：（Ⅰ）∵，，
∴
，即
，
∵
∴
.
（Ⅱ）∵
，
∴
，
由
得
，
∴函数的单调减区间为
.
18、
解：（1）证明：
又在正方形中，
,
又在正方形中，
平面.………………………………6分
(2)连接
，设
到平面的距离为
，
，又
，
又
，
又
所以
………………………………12分
19、
解：（1）由题意，
=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366；
（2）总分在[55，65）和[135，145）的试卷，共有6份试卷，其中[55，65）有2份，[135，145）有4份，
一份少于65分的概率为
，2份少于65分的概率为
，故抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率为
=
．
20、
解：(1)椭圆 C的方程：
(2)
21、[来源:学§科§网]
(I)
(II)
,令
,
,令
,
,……6分
,
,
.……8分
(2)
,
以下论证
.……………10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是
………………12分
22、
解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数）
∴曲线的普通方程为
，
曲线表示以
为圆心，
为半径的圆，
将
代入并化简得，
，
即曲线的极坐标方程为.
（2）∵直线的直角坐标方程为
，
∴圆心到直线的距离为
，∴弦长为
.
23、
解：（Ⅰ）因为
所以
，即
，
所以实数的取值范围为
．………5分
（Ⅱ）
，
即 
，
所以不等式等价于
或
或
所以
，或
，或
，
所以实数
的取值范围是
． ………10分
[来源:学科网ZXXK]