2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（ ）
A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞） D．（0，﹣1）∪（3，+∞）
2．若
是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（ ）
A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i
3．关于平面向量
、
、
，下列判断中正确的是（ ）
A．若•=•，则=
B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=
C．|+|=|﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5．已知sin（
﹣α）+sinα=
，则sin（α+
）的值是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
6．设a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．b＜c＜d＜a D．b＜d＜c＜a
7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A．a＞3？ B．a≥3？ C．a≤3？ D．a＜3？
8．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣
）=
，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（ ）
A．8 B．10 C．6
D．8
10．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）
A．13π B．12π C．11π D．10π
11．过点P在双曲线
﹣
=1的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，PF1的垂直平分线过F2，且原点到直线PF1的距离恰好等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为（ ）
A．[﹣
，] B．[﹣
，
] C．[﹣，] D．[﹣，]
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数x、y满足
，则
的最小值为 ．
14．现有四个函数：①y=x•sinx，②y=x•cosx，③y=x•|cosx|，④y=x•2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是
15．圆x2+y2=1的切线与椭圆
+
=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的+
=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 ．
16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），若（﹣
，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（
，
）单调，则ω的最大值为 ．
三、解答题
17．已知各项为正数的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＞1，6Sn=（an+1）（an+2）（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
+
+…+
＜
．
18．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下：
| 空气污染指数 （单位：μg/m3） |
[0，50] |
（50，100] |
（100，150] |
（150，200] |
| 监测点个数 |
15 |
40 |
y |
10 |
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（2）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面体P﹣AEF的体积．
20．已知过点P（
，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．
（1）若
=2
，求直线l的斜率．
（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．
21．已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1•x2＞1．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为
（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2
sinθ．
（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．
2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（ ）
A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞） D．（0，﹣1）∪（3，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∴A∩B=（3，+∞）
故选C．
2．若
是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（ ）
A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．
【解答】解： •（1﹣i）2=4+2i，
可得•（﹣2i）=4+2i，
可得=（2+i）i=﹣1+2i．
z=﹣1﹣2i．
故选：B．
3．关于平面向量
、
、
，下列判断中正确的是（ ）
A．若
•=•，则=
B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=
C．|+
|=|
﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据数量积的消去律不成立，判断A错误；
根据平面向量的共线定理，列方程求出k的值，判断B错误；
根据模长公式求出•=0，判断C正确；
根据单位向量以及平面向量的数量积判断D错误．
【解答】解：对于A，当•=•时， =不一定成立，A错误；
对于B， =（1，k），=（﹣2，6），当∥时，
则1×6﹣（﹣2）•k=0，解得k=﹣
，B错误；
对于C，|+|=|﹣|，得
=
，
即
+2
•
+
=﹣2•+，∴•=0，C正确；
对于D，与是单位向量，则
•=1×1×cos＜，＞=cos＜，＞≤1，D错误．
故选：C．
4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
≈169石，
故选：B．
5．已知sin（
﹣α）+sinα=
，则sin（α+
）的值是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用特殊角的三角函数值，两角差与和的正弦函数公式由已知可求sin（α+
）=，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：∵sin（
﹣α）+sinα=
，
∴
cosα+
sinα+sinα=，整理可得：sin（α+
）=
，
∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣．
故选：A．
6．设a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．b＜c＜d＜a D．b＜d＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=0.32∈（0，1），b=20.3∈（1，2），c=log25＞2，d=log20.3＜0，
则a，b，c，d的大小关系是d＜a＜b＜c．
故选：B．
7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A．a＞3？ B．a≥3？ C．a≤3？ D．a＜3？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量b的值，并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，
再进入循环此时b=22=4，a=3，
再进入循环此时b=24=16，
∴a=4时应跳出循环，
∴循环满足的条件为a≤3？
∴故选：C．
8．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣
）=
，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】正弦定理．
【分析】利用差角的正弦公式，即可求sinA，cosA的值，利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理求a的值．
【解答】解：∵sin（A﹣）=，
∴
（sinA﹣cosA）=
，
∴sinA﹣cosA=
，
∴sinAcosA=
，
∴sinA=
，cosA=
，
∵△ABC的面积S=24，b=10，
∴24=
bcsinA=
，
∴c=6，
∴a=
=8．
故选：D．
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（ ）
A．8 B．10 C．6 D．8
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值
【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，
四个面的面积分别为：8，6，6，10
显然面积的最大值为10．
故选：B
10．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）
A．13π B．12π C．11π D．10π
【考点】表面展开图．
【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，
正六棱柱的体积V=
=
•3x•3x•（9﹣6x）≤
=
，
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为
=
，
∴外接球的表面积为4
=13π．
故选A．
11．过点P在双曲线
﹣
=1的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，PF1的垂直平分线过F2，且原点到直线PF1的距离恰好等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
【解答】解：依题意过点P在双曲线
﹣
=1的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，PF1的垂直平分线过F2，且原点到直线PF1的距离恰好等于双曲线的实半轴长，可得|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，
由勾股定理可知|PF1|=4b
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，
代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得
=
，
∴e=
=
=．
故选：B．
12．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为（ ）
A．[﹣
，] B．[﹣
，
] C．[﹣，] D．[﹣，
]
【考点】曲线与方程．
【分析】由题意可得z2+3y2=6，解得﹣
＜x+y＜，解关于x+y的不等式可得．
【解答】解：∵z=x+y，x2+2xy+4y2=6，
∴z2+3y2=6，解得﹣＜x+y＜，
故x+y的取值范围为[﹣，]
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数x、y满足
，则的最小值为 
．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，从而利用的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率，
结合图象可知，
的最小值为
=
，
故答案为：．
14．现有四个函数：①y=x•sinx，②y=x•cosx，③y=x•|cosx|，④y=x•2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是 ①④②③
【考点】函数的图象．
【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．
【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象
②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．
故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③
故答案为：①④②③
15．圆x2+y2=1的切线与椭圆
+
=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的
+
=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 
．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），则1+k2=b2，圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12、求出交点即点P的参数方程为﹣
，利用1+k2=b2消去k、b
【解答】解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），
则1+k2=b2，
椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12，
则PA，PB的交点的纵坐标yp=
…代入3x1x+4y1y=12得PA，PB的交点的横坐标xp=
；
即点P的参数方程为﹣
，
利用1+k2=b2消去k、b得
，
故答案为：
．
16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），若（﹣
，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（
，
）单调，则ω的最大值为 5 ．
【考点】正弦函数的对称性．
【分析】由函数的对称性可知：ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，ω•+φ=n′π+，n′∈Z，相减可得ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，
）单调，ω×
+φ≥2kπ+
，且ω•
+φ≤2π+，求得ω≤8，由ω=7时，求得φ的值，求得函数的单调区间，由f（x）=sin（7x﹣
）在（，）不单调，不满足题意，同理求得当ω=5时，满足题意，即可求得ω的最大值．
【解答】解：由（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，
x=为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴，
∴ω•+φ=n′π+，n′∈Z，
∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，
f（x）在（
，
）单调，ω×
+φ≥2kπ+
，且ω•
+φ≤2π+，
∴
ωπ≤π，ω≤8，
当ω=7时，7（﹣
）+φ=nπ，|φ|≤，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（7x﹣）在（，
）不单调，不满足题意，
当ω=5时，5（﹣）+φ=nπ，|φ|≤
，
φ=
，
f（x）=sin（5x+）在（
，
）单调，满足题意，
∴ω的最大值为5．
故答案为：5．
三、解答题
17．已知各项为正数的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＞1，6Sn=（an+1）（an+2）（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
+
+…+
＜
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）6Sn=（an+1）（an+2）=an2+3an+2，得6Sn﹣1=（an﹣1+1）（an﹣1+2）=an﹣12+3an﹣1+2，两式作差，即可证明{an}为等差数列，从而求出an．
（2）由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和，再放缩即可证明．
【解答】解：（1）∵6Sn=（an+1）（an+2）=an2+3an+2，
∴6Sn﹣1=（an﹣1+1）（an﹣1+2）=an﹣12+3an﹣1+2，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，
∵an＞0，∴an﹣an﹣1=3，
∴{an}为等差数列，
∵6S1=（a1+1）（a1+2）=a12+3a1+2，
∴a1=2，或a1=1
∵a1＞1，∴a1=2，
∴an=3n﹣1，
（2）
=
=
（
﹣
），
∴
+
+…+
=
（
﹣
+﹣
+…+
﹣
）=（﹣）＜
18．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下：
| 空气污染指数 （单位：μg/m3） |
[0，50] |
（50，100] |
（100，150] |
（150，200] |
| 监测点个数 |
15 |
40 |
y |
10 |
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（2）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？
【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=
，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；
（2）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
【解答】解：（1）∵
，∴x=100．
∵15+40+y+10=100，∴y=35.
，
，
，
频率分布直方图如图所示：
（2）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点，设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E，从中任取2个的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10种，其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，所以事件A“两个都为良”发生的概率是
．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面体P﹣AEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（I）通过证明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；
（II）连接PE，证明BC⊥平面PAE，于是VP﹣AEF=VF﹣PAE=
VC﹣PAE．
【解答】证明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
∴AE⊥PD．
（II）连接PE，
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∵四边形ABCD是菱形，AB=PA=2，∠ABC=60°，
∴AE=
，
∴VC﹣PAE=
S△PAE•CE=
=
．
∵F是PC的中点，
∴VP﹣AEF=VF﹣PAE=
VC﹣PAE=
．
20．已知过点P（
，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．
（1）若
=2
，求直线l的斜率．
（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）设直线l的方程为：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立
，得
，
，…①，由
=2
，得y2=2y1…②
由①②得m即可．
（2）设PQ：y+1=
由
得
，⇒
同理x
；
直线MN的斜率kMN=
…③
把①代入③得kMN
【解答】解：（1）设直线l的方程为：x=my+
，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
，得
，
，…①
∵
=2
，∴y2=2y1…②
由①②得
，
解得m=﹣8+6
＜
，m=﹣8﹣6
＜，
∴直线l的斜率的斜率为：1
．
（2）设PQ：y+1=
由
得
，⇒
同理x
；
直线MN的斜率kMN=
=
=
…③
把①代入③得kMN=2（定值）
∴直线MN的斜率是为定值2．
21．已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1•x2＞1．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），求出导数，可得f′（m）=0，f（m）=0，解得a，m，考虑由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a的范围即可；
（2）由零点的定义，得到两个方程，同除以x，两式相减，整理化简，结合分析法，构造法，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，即可得证．
【解答】（1）解：函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．
考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），
f′（x）=lnx+1+2x﹣a，则lnm+1+2m﹣a=0，
又mlnm+m2﹣am+2=0，
消去a，可得m2+m﹣2=0，解得m=1（﹣2舍去），
则a=3，
由于f（x）的图象开口向上，
由f′（1）=3﹣a＜0，解得a＞3，
可得f（x）在（0，+∞）不单调，有两个不同的零点x1，x2．
故a的范围是（3，+∞）；
（2）证明：由题意可得x1lnx1+x12﹣ax1+2=0，x2lnx2+x22﹣ax2+2=0，
即为lnx1+x1﹣a+
=0，lnx2+x2﹣a+
=0，
两式相减可得，lnx1﹣lnx2+x1﹣x2+
=0，
即有1+
=
，
要证x1•x2＞1，即证＜2，
即有1+
＜2，
即＜1，
即有
＜0，（*）
令g（x）=lnx﹣x，g′（x）=
﹣1，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣1，
即有lnx﹣x＜0，
不妨设0＜x1＜1，x2＞1，
则x1﹣x2＜0，lnx1﹣x1﹣（lnx2﹣x2）＞0，
故（*）成立，
即有x1•x2＞1．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为
（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2
sinθ．
（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．
【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x﹣y+1=0，
圆C2的直角坐标方程（x+1）2+
=4，
所以圆心的直角坐标为（﹣1，），
所以圆心的一个极坐标为（2，
）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离 d=
=
，
所以AB=2
=
．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．
【解答】解：
（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．
当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；
当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣
≤x＜﹣1；
当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．
综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，
由此得a≥﹣7且a≤2x+7．
当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，
所以a的取值范围是[﹣7，7]．…