2016—2017学年上学期高三第二次月考试题
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1.已知集合
，
，则A∩B=
A.
B.
C. 
D.
2．若实数
满足
则
的最小值是
A．0 B．1 C．
D．9
3.设
是空间三条直线，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
A．当
时，若
，则
B．当
时，若
，则
C．当，且
是
在
内的射影时，若
，则
D．当，且
时，若
，则
4.已知点M是椭圆
上一点，
是椭圆的焦点，且满足
，则
的面积为
A.1 B.
C. 2 D.4
5.在平行四边形
中，
，
，
为
的中点．若
，则
的长为
.
.
.
.
6.若随机变
量
（
），则有如下结论：
，
，
高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为
A．19 B．12 C．6 D．5
7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则
A . f（x）在
单调递减
B. 
f（x）在（
，
）单调递减
C. f（x）在（0，
）单调递增
D . f（x）在（，）单调递增
8.按右图所示的程序框图，若输入
，则输出的
A. 45 B. 47 C. 49 D. 51
9.某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为
A.
B.
C.4 D.3
10.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为
A．
B．
C．
D．
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:今有蒲（水生植物名）生长了一日，长为三尺；莞（植物名，俗称水葱）生长了一日，长为一尺。蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加一倍。问当蒲和莞长度相等时，其长度是
A.五尺 B.六尺 C.七尺 D.八尺
12.已知函数
的图像上关于
轴对称的点至少有
对，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上。）
13.已知圆方程为：
，直线
过点
，且与圆交于
两点，若
，则直线的方程是_______.
14．在
的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中
项的系数为______.[来源:Z|xx|k.Com]
15.已知函数
和
，作一条平行于轴的直线，交
图象于
两点，则
的最小值为__________________.
16.已知数列
满足
，
是其前
项和，若
，且
，则
的最小值为____________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）
在
中，角
，
，
的对边分别为，
，，且
，又
，
，
成等差数列．
（1）求
的值；
（2）若
，求的值．
18.（本小题满分12分）
随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：
| 年龄（单位：岁） |
|
|
|
|
|
|
| 频数[来源:学科网] |
5 |
10 |
15 |
10 |
5 |
5 |
| 赞成人数 |
5 |
10 |
12 |
7 |
2 |
1 |
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：
|
|
年龄不低于 |
年龄低于45岁的人数 |
合计 |
|
|
|
|
|
| 不赞成 |
|
|
|
| 合计 |
|
|
|
（2）若从年龄在
的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为
，求随机变量的分布列及数学期望。
参考数据如下：
|
|
0.050[来源:学科网ZXXK] |
0.010 |
0.001 |
|
|
3.841 |
6.635 |
10.828 |
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥
,其中
,
, 
且
,
平面
,
为
的中点．
(1)画出平面ADE与平面ABC的交线(保留作图痕迹）；
（2）求证：
//平面；
（3）设
是的中点，若
与平面所成角的正切值为
,求平面
与平面
夹角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为
，且与椭圆
有相同离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
与椭圆交于不同的两点，且椭圆上存在点
，满足
，（
为坐标原点），求实数
取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知定义域为
的函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
.
22.（本小题满分10分）
设数列
的前项和为，已知
，
（
）.
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）令
，求数列
的前项和为
.
高三上学期第二次月考数学（理科）试卷
参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A
二、填空题
13. 
或
14.
15.
（或
）16.
三、解答题
17.解：（I）
，，成等差数列，
， （1分）
由正弦定理得
， （3分）
又，可得
， （4分）
， （6分）
，
，
． （8分）
，解得
． （12分）
18．解：（1）列联表如下：
|
|
年龄不低于45岁的人数 |
年龄低于45岁的人数 |
合计 |
| 赞成 |
10 |
27 |
37 |
| 不赞成 |
10 |
3 |
13 |
| 合计 |
20 |
30 |
50 |
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以
，
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以的分布列是：
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
所以的期望值是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.（本小题满分12分）
解：(1)如图，AH为所求。……………2分
（2）取
中点
,连结
、
∵
分别是、的中点，
∴
,且
．
又∵且
∴四边形
是平行四边形，
∴
, 
面且
，，
∴∥面
……………6分
（3）∵平面
∴
为与平面所成角，
∵为的中点,且,，得
∵与平面所成角的正切值为，
∵
，
， …………………………8分
以为坐标原点，
为轴，
为轴，为
轴建立空间直角坐标系
则
∴
设平面的法向量为
由
得
即
，取
…………………………10分
而平面的法向量为
由
[来源:Z。xx。k.Com]
得平面与平面夹角的余弦值为 ……………12分
20.解：（1）由已知可
解得
． ………………………3分
所求椭圆的方程
． …………………………4分
（2）建立方程组 
消去
，整理得
．
．
由于直线直线与椭圆交于不同的两点，
，有
．① ………………………………6分
设
,于是
，
． ………………………8分
当
时，易知点关于原点对称，则
；
当
时，易知点不关于原点对称，则
．
此时，
由
，得
即
点在椭圆上，∴
．
化简得
．
．②
由①②两式可得
．
综上可得实数的取值范围是
． ………………………12分
21.解：（1）
，[来源:Zxxk.Com]
①当
时，
，于是在上单调递减；
②当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，，
所以在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当时，由（1）知在
单调递减，
又
，∴
时，
，即时，成立，
当
时，由（1）知在
上递减，在
上递增，
当时，由
，即得在上成立，
所以当
时，有
，
下面证明
，即
，
令
，
，则
，且
，
记
，则
，
于是
在
上单调递增，
又因为
，
，所以存在唯一的
使得
，
从而
，于是
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
，
从而
，即，亦即
，
因此不等式在
上成立，
22.解：(1) 由，及
，得
，
整理，得
，∴
，又
，
∴是以1为首项，2为公比的等比数列． ………………………5分
(2) 由(1)得 
，
，所以
，
于是
，
，
